Noci di cocco e marinai: l’indovinello di B. A. Williams

Nell’ottobre del 1926 il Saturday Evening Post pubblicava un problema del novellista americano Ben Ames Williams, scritto sotto forma di storia breve.
Problema di scimmie, noci di cocco e marinai, intrigante al punto da scatenare un gran numero di lettori, ognuno con una soluzione di cui era assolutamente certo, ma diversa da tutte le altre. Dopo una settimana e oltre duemila lettere, George Horace Lorimer, redattore capo del giornale, telegrafò a Williams:

For the love of Mike, how many coconuts? Hell popping around here.

Il problema, insieme ad alcune sue varianti, risulta uno dei più studiati della matematica ricreativa.


Scimmie, noci di cocco e marinai

La trama della novella di Williams è abbastanza semplice. Due imprenditori, Dean Story e Marr, sono in gara per un’asta, e devono effettuare entro la mezzanotte la propria offerta. Wladin, impiegato di Story, conoscendo la passione di Marr per i puzzle matematici, gliene propone uno che lo tiene impegnato tutta la serata, facendogli dimenticare l’asta e lasciando così strada libera a Story.

Ed ecco il puzzle, da Enigmi e giochi matematici di Martin Gardner:

scimmie, noci di cocco e marinaiCinque marinai ed una scimmia fecero naufragio su un’isola deserta e passarono il primo giorno a raccogliere noci di cocco per cibo. Poi le ammucchiarono tutte insieme e andarono a dormire.
Ma mentre tutti dormivano uno di essi si svegliò e pensando che il mattino dopo vi sarebbero stati dei litigi alla spartizione, decise di prendersi la sua parte. Perciò divise le noci in cinque mucchi. Rimaneva una noce, che egli dette alla scimmia, poi nascose la sua parte e mise tutto il resto assieme.
Subito dopo un secondo uomo si svegliò e fece la stessa cosa. Anch’egli dette una noce residua alla scimmia.
Uno dopo l’altro tutti e cinque gli uomini fecero la stessa cosa, ognuno prendendo un quinto del mucchio e dando una noce alla scimmia.

Alla mattina divisero le noci ed ognuno ottenne lo stesso numero. Naturalmente ognuno sapeva che mancavano delle noci, ma ognuno era colpevole come gli altri e così nessuno parlò.
Quante noci c’erano all’inizio?

La soluzione lineare

Il problema “noci di cocco e marinai” può essere risolto mediante un semplice programma (vedi qui). Non dovrebbe essere complicato scriverne uno in Ruby.
Con carta e penna, la soluzione più lineare che si può immaginare si ottiene traducendo il testo in equazioni.
Dette N le noci iniziali, ab, cd, e, il numero di noci sottratte rispettivamente dai cinque marinai, e f il numero di noci ricevuto da ogni marinaio il mattino dopo, valgono le equazioni:

N  =  5a + 1
4a  =  5b + 1
4b  =  5c + 1
4c  =  5d + 1
4d  =  5e + 1
4e  =  5f

Eliminando cinque delle incognite per sostituzione (badando bene a non commettere errori!), si ottiene l’equazione diofantea, da Diofanto di Alessandria:

1.024 N  =  15.625 f + 8.404

Questa equazione ha infinite soluzioni per N ed f interi, si tratta di trovare la soluzione con N minimo, o quanto meno la più ragionevole nel contesto del problema.

Risolvere l’equazione non è banale, e questo spiega le centinaia di soluzioni errate sottoposte al povero redattore capo Lorimer.
Gli algoritmi per risolvere un’equazione diofantea lineare come la nostra si possono trovare, ad esempio, su Wikipedia.
Per chi si voglia cimentare, la soluzione è N = 3.121f = 204. Lineare non vuol dire per forza semplice!

Ma esiste un metodo più semplice!

Al problema delle scimmie, noci di cocco e marinai hanno lavorato in tanti, per tanto tempo, finché, non si sa bene da chi e quando, è venuto fuori un approccio che semplifica il procedimento di soluzione di questa particolare equazione diofantea.
Martin Gardner rivela qualche indiziato: Paul Dirac, nobel per la fisica nel 1933, J.H.C. Whitehead, matematico e nipote del matematico e filosofo Alfred North Whitehead, autore con Bertrand Russell dei Principia Mathematica.

Teniamo per un momento da parte l’ultimo passaggio, la divisione delle noci effettuata il mattino dopo.
Ognuno dei cinque passaggi precedenti consiste nel togliere una noce, dividere le noci in cinque mucchi e tenerne uno da parte.

Per quanto non abbia senso reale, cosa accade se fossimo davanti a noci negative?

Se nel mucchio iniziale ci fossero 4 noci negative, allora il primo marinaio dovrebbe dare una noce (positiva) alla scimmia e dividere le 5 noci negative rimaste in cinque mucchi da una noce negativa, lasciandone 4. Cioè esattamente quelle iniziali!

Ora, se sommiamo alle noci iniziali 55 noci (5 marinai per 5 divisioni), cioè 3125 noci, potremo effettuare tutti e cinque i passaggi senza dover mai rompere una noce. Proviamo a vedere cosa succede, quindi, con 3125 – 4 = 3121 noci iniziali.

Il primo marinaio divide le 3121 noci in mucchi da 624, ne preleva uno, regala una noce alla scimmia e lascia 2496 noci.
Il secondo marinaio divide in mucchi da 499, ne preleva uno, dà la solita noce alla scimmia e ne lascia 1996.
Il terzo marinaio preleva 399 noci e lascia 1596. Il quarto preleva 319 e ne lascia 1276. Finalmente il quinto marinaio preleva 255 noci e ne lascia 1020.

Al mattino dopo le 1020 noci vengono divise in cinque mucchi da 204, e ciascuno dei marinai se ne va soddisfatto.

Varianti del problema

Scimmie, noci di cocco e marinai
Il problema “noci di cocco e marinai” è stato analizzato, rigirato e modificato in ogni modo. Si è generalizzato il numero di marinai (e quindi dei furti notturni), si è considerata la variante del lasciare una noce alla scimmia anche al mattino dopo.

La matematica divulgativa americana Theoni Pappas nel suo libro Le gioie della matematica, propone la versione con tre soli marinai e con una noce lasciata alla scimmia anche all’ultima divisione del mattino seguente. I calcoli sono più semplici.

L’approccio delle noci negative vale anche per il caso dei tre marinai.
Si parte con 2 noci negative (numero dei marinai meno 1) e, dopo quattro divisioni (tre furti più la divisione finale) si rimane con 2 noci negative dopo averne regalate quattro (positive) alla scimmia. Questa volta si può sommare 34 = 81 noci (3 marinai, 4 divisioni), effettuando tutte le divisioni senza rompere noci.
Quindi le noci di partenza saranno 81 – 2 = 79.


Due cose mi hanno sempre lasciato perplesso del problema “noci di cocco e marinai”.
La prima: la furbizia mista a mancanza di intelligenza dei cinque marinai. Già il terzo marinaio si trova di fronte a un mucchio quasi dimezzato. Possibile che non gli nascano sospetti?
La seconda: e la scimmia? Presumibilmente sveglia tutta la notte a vedere questi cinque disperati trafugare e sotterrare noci di cocco a più non posso, possibile che si sia accontentata di 5 noci e non abbia approfittato per metterne al sicuro un altro bel po’?

Mi chiamo Pasquale Petrosino, radici campane, da un paio d’anni sulle rive del lago di Lecco, dopo moltissimi anni vissuti a Ivrea.
Ho attraversato 40 anni di tecnologia informatica, da quando progettavo hardware maneggiando i primi microprocessori, la memoria si misurava in kByte, e Ethernet era una novità fresca fresca, fino alla comparsa ed esplosione di Internet.
Tre passioni: la Tecnologia, la Matematica per diletto e le mie tre donne: la piccola Luna, Orsella e Valentina.
Potete contattarmi scrivendo a: p.petrosino@inchiostrovirtuale.it

Ti è piaciuto? Condividilo!