Lotto, probabilità e dintorni: non facciamoci fregare!

Vincere al lotto è il sogno di molti, anche se guai a cercare di realizzarlo giocando in modo compulsivo. Anzi, meglio provarci solo una volta ogni tanto (ma proprio tanto) tempo, giusto per fornire un’occasione alla propria fortuna: pochi euro al superenalotto (il più facile e popolare) o al tradizionale enalotto.
Un metodo per vincere, o anche solo per aumentare le probabilità di vincita, ahimè non c’è, anche se è diffusa la convinzione che maggiore è il numero di estrazioni dall’ultima uscita di un numero, maggiore è la probabilità che quel numero possa essere estratto.
È la teoria dei numeri ritardatari. Torniamo a scrivere di probabilità, per vedere perché non ha nessun fondamento.


Il lotto e i ritardatari

Nel momento in cui scrivo (5 gennaio), il 76 non viene estratto sulla ruota di Cagliari da ben 201 settimane; l’ultima volta è stato più di un anno fa, il 22 settembre del  2016.

Un evento raro? Si, questo è sicuro. Ed è ancora più raro che nelle estrazioni del lotto un numero ritardi di 202 settimane, quindi, potrei aspettarmi che alla prossima estrazione sia molto probabile che finalmente il 76 esca sulla ruota di Cagliari, sicuramente più probabile dell’estrazione di altri numeri che mancano da meno tempo, come il 34 primo estratto di ieri. Giusto?

In realtà la questione è mal posta, sotto l’aspetto probabilistico. La domanda corretta è:

Dato che il 76 manca dalle estrazioni della ruota di Cagliari da 201 settimane, qual è la probabilità che esca alla prossima estrazione?

Risposta:

La stessa che esca uno qualunque degli altri numeri, perché il ritardo finora accumulato non altera in alcun modo le condizioni di uguale probabilità dei 90 numeri del gioco del lotto.

Un breve ripasso della probabilità applicata al lotto

Ogni estrazione è storia a sé, non porta nessuna traccia di quelle che l’hanno preceduta. Quindi ogni numero ha la stessa probabilità di essere estratto per primo e, di conseguenza: ci sarà 1 probabilità su 90, che il numero estratto sia il nostro 76, e 89 probabilità su 90, che sia uno dei restanti.
Supponiamo che il numero primo estratto non sia il nostro 76. Il secondo numero estratto potrà essere lui (1 probabilità sugli 89 numeri rimasti) oppure, ancora una volta, un numero diverso (i restanti 88 su 89).

La probabilità che il 76, non sia tra i cinque numeri estratti sulla ruota di Cagliari, sarà quindi:

8990 × 8889 × 8788 × 8687 × 8586 = 8590

E quella che invece lo sia sarà:

1 – 8590 = 590 = 118

Quindi, la probabilità che il 76 di Cagliari rimanesse assente per una sola estrazione era pari al 94.4% (1718), per due estrazioni si era ridotto all’89.2% ( (1718)2  ). Una sequenza di 12 ritardi ha una probabilità del 50% circa.
Sequenze più lunghe diventano via via meno probabili: 24 ritardi ci portano al 25% circa (una sequenza su quattro), 52 ritardi al 5% circa.
Una sequenza di 201 ritardi ha una probabilità di appena lo 0.001%, quindi è davvero molto rara. Ma, ahimè, il fatto di aver raggiunto questo traguardo non ci dice nulla sulla prossima estrazione del lotto.


Il paradosso di Monty Hall

Un altro esempio di intuito che porta fuori strada nel campo delle probabilità è quello noto come Paradosso di Monty Hall.
Nel 1963 la rete americana NBC lanciava il programma Let’s Make a Deal. La trasmissione è arrivata ai nostri giorni, spostandosi di rete in rete e sbarcando anche su reti non americane. In Italia arrivò su Canale 5 nel biennio 1985/86, come Facciamo un affare, presentato da Iva Zanicchi.

Nella fase finale del gioco, il solo concorrente rimasto in gara doveva aggiudicarsi il premio finale nascosto dietro una di tre porte chiuse. Il gioco non prevedeva ripensamenti, dopo aver scelto la porta da aprire.
Nel 1990 arrivò alla rubrica dell’editorialista americana Marilyn vos Savant, la seguente questione:

Dopo che il concorrente ha scelto la porta da aprire, si supponga che il conduttore apra una delle altre due porte, dietro la quale non ci sia il premio finale, e proponga al concorrente di decidere se tenere la porta scelta oppure cambiare con l’altra rimasta a disposizione. Cosa conviene fare al concorrente?

Marilyn vos Savant (con un Q.I. di 186, da paragonare al 160 dell’astrofisico Stephen Hawking) rispose che il concorrente avrebbe fatto bene a scegliere la porta rimasta, raddoppiando la probabilità di trovare il premio finale.

L’intuito inganna

La rubrica della vos Savant fu inondata di risposte piccate di studiosi di statistica, alcune addirittura offensive:

There is enough mathematical illiteracy in this country, and we don’t need the world’s highest IQ propagating more. Shame!

Nella modifica proposta, il conduttore ha sempre una porta senza premio da aprire: se il concorrente ha scelto la porta giusta, aprirà una qualunque delle due rimanenti, altrimenti aprirà la porta senza premio rimasta.
L’intuito suggerirebbe che, dato che la mossa del conduttore di fatto non dà nessuna informazione utile al concorrente, cambiare porta o tenere la prima scelta non modifichi le probabilità.

Non è così: aveva ragione Marilyn vos Savant e torto gli esperti di statistica.

Calcoliamo, infatti, la probabilità delle varie strade del gioco.

  1. Il concorrente sceglie inizialmente la porta giusta (p = 13 ):
    • se conserva la propria scelta, vince;
    • se sceglie l’altra porta, perde.
  2. Il concorrente sceglie inizialmente la porta sbagliata (p = 23 ):
    • se conserva la propria scelta, perde;
    • se sceglie l’altra porta, vince.

Quindi:

  • se il concorrente conserva la propria scelta, vince con probabilità 13 e perde con probabilità 23;
  • se, invece, cambia, allora vince con probabilità 23 e perde con probabilità 13.
L’intuito inganna!

Non esistono scorciatoie per la fortuna, perché, se esistessero, qualcuno le avrebbe già imboccate e molto difficilmente il fatto sarebbe passato inosservato. E occorre ricordare il principio fondamentale dei giochi in danaro: il vincitore è sempre l’organizzatore, mai i giocatori nel loro complesso.
Quindi provare la fortuna va bene, rischiando poco: chissà che la sorte non riservi a noi il colpo giusto. Ma bisogna tener ben presente che giocare in modo compulsivo è il modo sicuro per regalare il proprio denaro.

Mi chiamo Pasquale Petrosino, radici campane, da un paio d’anni sulle rive del lago di Lecco, dopo moltissimi anni vissuti a Ivrea.
Ho attraversato 40 anni di tecnologia informatica, da quando progettavo hardware maneggiando i primi microprocessori, la memoria si misurava in kByte, e Ethernet era una novità fresca fresca, fino alla comparsa ed esplosione di Internet.
Tre passioni: la Tecnologia, la Matematica per diletto e le mie tre donne: la piccola Luna, Orsella e Valentina.
Potete contattarmi scrivendo a: p.petrosino@inchiostrovirtuale.it

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